Einstieg

Vokabeln

Exponentialfunktion

f(x) = a∙b^x

Ableitung: f'(x) = a∙b^x∙f'(0)

Die Ableitung einer Exponentialfunktion ist also wieder eine Exponentialfunktion.

Die Zahl e

Die Exponentialfunktion f(x) = e^x mit e = 2,71... ist gleichzeitig ihre eigene Ableitung und ihre eigene Stammfunktion. e nennt man auch die „Eulersche Zahl“.

Aufgaben: S. 97 / 3 bis 4

Aufgaben zu e

Aufgaben: S. 99 / 7 bis 11

Lösungen: folgen

Kettenregel

Ist f(x) = u(v(x)) eine verkettete Funktion mit äußerer Funktion u(x) und innerer Funktion v(x), so lautet die Ableitung f'(x) = v'(x)∙u'(v(x)).

Man sagt: "Innere Ableitung mal äußere Ableitung."

Beispiel:
f(x) = 3∙e^{5x + 2}

Äußere Funktion: u(x) = 3∙e^x
Innere Funktion: v(x) = 5x + 2

Äußere Ableitung: u'(x) = 3∙e^x
Innere Ableitung: v'(x) = 5

Also: f'(x) = 5∙3∙e^{5x + 2} Bzw. f'(x) = 15∙e^{5x + 2}

Bei e-Funktionen sieht dies im Allgemeinen also so aus:

f(x) = e^{ax + b}
f'(x) = a∙e^{ax + b}

Aufgaben: S. 98 / 5 und 6

Natürlicher Logarithmus

Allgemeines Beispiel:
Für welches x gilt 2^x = 32?

2^x = 32
(anwenden von log₂)

log₂(2^x) = log₂(32)
(log₂ und "2 hoch" heben sich auf)

x = log₂(32)
(berechnen mit GTR)

x = 5

Also: 2⁵ = 32

Bei e als Basis verwendet man den natürlichen Logarithmus ln, um die Basis aufzuheben.

Der GTR besitzt dafür die Taste [LN].

Beispiel mit e:
Für welches x gilt e^x = 15200?

e^x = 15200
(anwenden von ln)

ln(e^x) = ln(15200)
(ln und "e hoch" heben sich auf)

x = ln(15200)
(berechnen mit GTR)

x = 9,63

Also: e^9,63 = 15200

Aufgaben:
S. 102 / 1 und 2
S. 104 / 8, 9 und 13
S. 105 / 14 und 19
S. 106 / 24

Exponentielles Wachstum

Folgende Gleichung beschreibt ein exponentielles Wachstum mit der Basis e:

Veranschaulichung von a und k:

Aufgaben: S. 109 / 1 bis 4

Begrenztes Wachstum

Begrenztes Wachstum entspricht einer exponentiellen Abnahme (negatives k), die um eine Sättigungsgrenze S erhöht wird. Damit geht es nicht gegen Null, sondern nähert sich dieser Grenze an, weil die Differenz immer kleiner wird.

Aufgaben: S. 116 / 1 bis 3

Einleitung: Glühwein

Es ist Adventszeit und draußen sind es 0 °C. Die perfekte Zeit, um durch die Weihnachtsmärkte zu schlendern und etwas Glühwein zu trinken. Er wird mit ca. 72 °C ausgeschenkt… zu heiß, um ihn gleich zu trinken!

Wie kühlt sich der Glühwein im Verlauf der Zeit wohl ab?

Wann hat er eine gute Trinktemperatur von 40 °C erreicht, wenn er sich pro Minute um 8% abkühlt?

Lösungen

f(t) = 72∙e^ln(0,92)∙t
(Wegen 92% = 0,92 und 0,92^t = e^ln(0,92)∙t)

Die Temperatur ist nach 7,05 Minuten erreicht.
(Einsetzen und Umstellen oder Graphen schneiden.)

Einleitung: Kaffee

Es ist Adventszeit und drinnen sind es 21 °C. Die perfekte Zeit, um es sich gemütlich zu machen und einen wärmenden Kaffee zu trinken. Er wird mit ca. 90 °C gebrüht… zu heiß, um ihn gleich zu trinken!

Wie kühlt sich der Kaffee im Verlauf der Zeit wohl ab?

Wann hat er eine gute Trinktemperatur von 40 °C erreicht, wenn er sich pro Minute um 8% abkühlt?

Lösungen

f(t) = 69∙e^ln(0,92)∙t + 21
(Um 21 angehoben, wobei dann die Differenz zur 90 verwendet werden muss.)

Die Temperatur ist nach 15,47 Minuten erreicht.
(Einsetzen und Umstellen oder Graphen schneiden.)

Einleitung: O-Saft

Es ist Hochsommer und draußen sind es 31 °C. Die perfekte Zeit, um sich abzukühlen und einen erfrischenden O-Saft zu trinken. Er kommt aus dem Kühlschrank mit ca. 6 °C … zu kalt, um ihn gleich zu trinken!

Wie erwärmt sich der O-Saft im Verlauf der Zeit wohl?

Wie warm ist er nach 15 Minuten, wenn er sich pro Minute um 13% erwärmt?

Lösungen

f(t) = -25∙e^ln(0,87)∙t + 31
(Um 31 angehoben, wobei dann die Differenz zur 6 verwendet werden muss.)

Nach 15 Minuten ist er 27,9 °C warm.
(Einsetzen in x und ausrechnen.)

Übungen zu e

Übung 1

Was ist "e" und was ist das besondere daran? Beschreibe.

Übung 2

Bilde die Ableitungen:

a) f(x) = e^x

b) f(x) = 4∙e^x

c) f(t) = 37e^t - 12e^t

d) f(x) = 4∙e^2x (Kettenregel!)

e) f(x) = -50∙e^3x + 20∙e^4x

f) f(x) = 12∙e^{4x + 2}

Übung 3

Gegeben seien f(x) = e^x und g(x) = -3∙e^2x

a) Skizziere die Graphen von f(x) und g(x). Nimm dabei den GTR zur Hilfe.

b) Beschreibe, wie der Graph von g(x) aus f(x) entsteht.

c) Berechne den Wert von g(0).

d) Gib die Ableitungen und Stammfunktionen von f(x) und g(x) an.

e) Gib den Werte- und den Definitionsbereich von g(x) an.

f) Nenne das Verhalten des Graphen von g(x) für x gegen -∞ und gegen +∞.

g) Gib das Monotonie- und das Krümmungsverhalten von g(x) an.

h) Begründe deine Lösungen aus f) mit der Ableitung g'(x).

Übung 4

Die Größe der von einer bestimmten Schimmelpilz-Kultur bedeckten Fläche in cm² kann durch den Funktionsterm f(t) = 3∙e^t beschrieben werden, wobei t für die Zeit in Stunden steht.

Ermittle die momentante Wachstumsgeschwindigkeit zu den Zeitpunkten t = 1 und t = 4 Stunden. (Veränderung der Fläche = Ableitung!)

Lösungen

1) "e" ist die Zahl 2,71...
Das besondere daran ist, dass sich die Exponentialfunktion mit e als Basis (also f(x) = e^x) sowohl beim Ableiten als auch beim Aufleiten nicht verändert. Es gilt f'(x) = e^x und F(x) = e^x

2.a) f'(x) = e^x

2.b) f'(x) = 4∙e^x

2.c) f'(x) = 37e^t - 12e^t

2.d) f'(x) = 4∙2e^2x = 8∙e^2x

2.e) f'(x) = -150∙e^3x + 80∙e^4x

2.f) f'(x) = 48∙e^{4x + 2}

3.a)

3.b) Der Graph von g(x) ist an der x-Achse gespiegelt und um den Faktor 3e² gestreckt.

3.c) g(0) = -3∙e^2∙0 = -3∙e⁰ = -3∙1 = -3

3.d) f'(x) = e^x
g'(x) = -3∙2e^2x = -6∙e^2x
F(x) = e^x
G(x) = -3∙\(\frac{\text{1}}{\text{2}}\)e^2x = \(\frac{\text{-3}}{\text{2}}\)e^2x

3.e) W = ℝ_- ("y kann alle negativen Zahlen annehmen")
D = ℝ ("x kann alle Zahlen annehmen")

3.f) x -> -∞ = 0
x -> +∞ = -∞

3.g) Der Graph von g(x) ist streng monoton fallend und besitzt eine Rechtskrümmung.

3.h) Die Ableitung ist stets kleiner als Null.

4) f'(t) = 3∙e^t
f'(1) = 3∙e¹ = 8,15
f'(4) = 3∙e⁴ = 163,79