Vokabeln

Was ist eine Funktion?

Eine Menge von Zahlen x wird genau einer Menge an Zahlen y bzw. f(x) zugeordnet. Mit der Funktionsgleichung ist festgelegt, welcher Zahl jeweils zugeordnet wird.

Was ist eine Ableitung?

Die Ableitung einer Funktion gibt für jede Stelle x die Steigung des Graphen an der Stelle an.

Vokabeln einer Gleichung

Parameter

Ein Parameter ist ein variabler Faktor. D.h. er kann verschiedene Zahlenwerte annehmen.

Punkt vs. Stelle

Ein Punkt hat immer x- und y-Koordinaten: P(x|y).
Eine Stelle nur x: Z.B. Nullstelle bei x = 3.

Eigenschaften eines Graphen

Besondere Punkte und Stellen

Monotonie

In welchen Abschnitten steigt oder fällt der Graph?
Zu erkennen an der ersten Ableitung.
(Abschnitte immer von Extremstelle zu Extremstelle.)

Krümmung

In welchen Abschnitten ist er rechts- und in welchen linksgekrümmt?
Zu erkennen an der zweiten Ableitung.
(Vorstellung: Mit dem Auto in positiver x-Richtung fahren: Kurven rechts oder links?)

Aufgabe

f(x) = -0,5x2 + 2x + 4

a) Skizziere den Graphen.
b) Markiere und beschrifte markante Punkte. (HP, TP, WP, NS, y-A.)
c) Bestimme die Punkte mit dem GTR.
d) Prüfe mit dem GTR, ob der Punkt (1|5) auf dem Graphen liegt.
e) Markiere und beschrifte Monotonie und Krümmungen.

Lösung

Nullstellen und y-Achsenabschnitt

Nullstelle berechnen

("Berechne" = per Hand)

Berechne die Nullstellen von f(x) = x² – 9.

Ansatz: f(x) = 0
x² – 9 = 0 |+9
x² = 9 |Wurzel
x = 3 oder x = -3

Funktion mit Parameter: f(x) = ax² + 4x - 2,5
Für welchen Wert von a hat die Funktion eine Nullstelle bei x = 9?

Ansatz: f(9) = 0
a∙9² + 4∙9 – 5 = 0
a∙81 + 36 - 5 = 0 |-31
a∙81 = -31 |:81
a = -31/81 = -0,38

y-Achsenabschnitt berechnen

Der y-Achsenabschnitt ist die Konstante in der Funktionsgleichung.
Sie bleibt über, wenn x überall 0 ist.

Funktion mit Parameter: f(x) = 0,25x + a
Für welchen Wert von a hat die Funktion einen y-Achsenabschnitt von -2?

Lösen durch Wissen: a muss -2 sein.

Lösen durch Mathe mit Ansatz: x = 0
0,25∙0 + a = -2
0 + a = -2
a = -2

Extrema und Ableitungen

Ableitung skizzieren

Bild einfügen

$$ \definecolor{gruen}{RGB}{5,184,41} \definecolor{orange}{RGB}{234,108,6} \definecolor{lila}{RGB}{168,0,224} \definecolor{blau}{RGB}{6,111,224} $$

Ableitungsregeln

Potenzregel: \(f(x) = x^5\) f‘(x) = 5∙x4
f(x) = xa f‘(x) = a∙xa – 1
„Exponenten kommen als Faktor davor und werden oben um 1 verringert.“

Faktorregel: f(x) = 3∙x5 f‘(x) = 3∙5∙x4 = 15x4
f(x) = k∙g(x) f‘(x) = k∙g(x)
„Faktoren vor Termen bleiben bestehen.“

Summenregel: f(x) = 3∙x5 + 7∙x2 f‘(x) = 15x4 + 14x
f(x) = g(x) + h(x) f‘(x) = g‘(x) + h‘(x)
„Summierte Terme werden einzeln abgeleitet.“

Extrema berechnen

Berechne den Tiefpunkt von f(x) = 2x^3 + 2x – 4.

Ansatz: f'(x) = 0 Ableitung bilden: f'(x) =

LGS lösen

Vorgehen beim Lösen

Beispiel: Wurfparabel ermitteln

Messung des Wurfes

Der Abwurfpunkt ist 0,7 m hinterm Ursprung (Füße) und in einer Höhe von 1,2 m: A(0,7|1,2)
Der höchste Punkte wird nach 2,0 m erreicht und hat eine Höhe von 2,5 m: H(2,0|2,5)

Funktionsgleichung für den Wurf aufstellen

Grad einer Wurfparabel: 2.

Allgemeine Funktion 2. Grades: f(x) = ax² + bx + c
Ihre Ableitung: f'(x) = 2ax + b

Bedingungen an die Funktion:
f(0,7) = 1,2 (Abwurfpunkt)
f(2,0) = 2,5 (Hochpunkt)
f'(2,0) = 0 (Hochpunkt)

Gleichungssystem durch Einsetzen der Bedingungen:
a∙0,49 + b∙0,7 + c = 1,2
a∙4,0 + b∙2,0 + c = 2,5
2a∙2,0 + b = 0

GTR:rref -> a = -0,77; b = 3,08; c = -0,58

Einsetzen der Werte für die Parameter:
Die Wurfparabel hat die Funktionsgleichung
f(x) = -0,77x² + 3,08x - 0,58

Allgemeine Funktionsgleichungen

Eigenschaften und ihre Bedingungen

Eigenschaft	Bedingung(en)
hat an der Stelle x = 3 den Wert -1	f(3) = -1
verläuft durch den Punkt P(1|2)	f(1) = 2
verläuft durch den Ursprung	f(0) = 0
Nullstelle bei x = 5	f(5) = 0
schneidet die y-Achse bei –2	f(0) = -2
Extremstelle bei x = 4	f'(4) = 0
Extrempunkt (HP/TP) bei A(4|7)	f(4) = 7; f'(4) = 0
Wendepunkt an der Stelle x = 2	f''(2) = 0
Wendepunkt bei W(2|4)	f(2) = 4; f''(2) = 0
die Steigung an der Stelle x = 8 beträgt 5	f'(8) = 5
hat in (5|1) eine waagerechte Tangente	f(5) = 1; f'(5) = 0
hat bei x = 0 einen Winkel von 45°	f'(0) = 1

Symmetrien

Bei symmetrischen Graphen fallen einige Parameter weg. So kann eine punktsymmetrische Funktion keine geraden Exponenten haben und eine achsensymmetrische keine ungeraden. Die dazugehörigen Parameter müssen also nicht bestimmt werden.

Allgemeines Vorgehen

(0. Schritt:) Wie viele Bedingungen sind nötig? (Grad der Funktion + 1)

1. Schritt: Bedingungen (f(x) = y) anhand von Eigenschaften notieren.

2. Schritt: Gleichungen aus den Bedingungen aufstellen. Dafür in die allgemeinen Funktionsgleichungen einsetzen.

3. Schritt: Das LGS mit dem GTR (rref) lösen, um die Parameter zu erhalten.

4. Schritt: Funktion mit den Parameter-Werten notieren.

Beispiel

Aufgabe: Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades hat einen Tiefpunkt bei T(3|3) und einen Wendepunkt bei W(1|1). Ermittle die dazugehörige Funktionsgleichung.

(0. Schritt: Anzahl Bedingungen)
Es werden 4 Bedingungen benötigt.

1. Schritt: Bedingungen
f(3) = 3
f'(3) = 0
f(1) = 1
f''(1) = 0

2. Schritt: Gleichungen
a∙3³ + b∙3² + c∙3 + d = 3
3a∙3² + 2b∙3 + c = 0
a∙1³ + b∙1² + c∙1 + d = 1
6a∙1 + 2b = 0

3. Schritt: LGS lösen
GTR:rref \(\begin{pmatrix} 27 & 9 & 3 & 1 & 3\\ 27 & 6 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 6 & 2 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)
a = -0,125; b = 0,375; c = 1,125; d = -0,375

4. Schritt: Funktionsgleichung
f(x) = -0,125∙x³ + 0,375∙x² + 1,125∙x - 0,375

sprung-, knick-, ruckfrei

Einstiegsaufgabe

Zwei Landstraßen sollen neu miteinander verbunden werden. Die westliche Straße entspricht der Funktion f(x) = –x² + 4 und die östliche entspricht g(x) = 1.

a) Bestimme eine Funktion h(x) dritten Grades, die beide Straßen möglichst sinnvoll miteinander verbindet.

b) Stell dir vor, du fährst diese Straße entlang… welches Problem könnte an den Übergangsstellen der Straßen entstehen?

Lösung

a) Bedingungen: h(1)=3, h'(1)=-2, h(3)=1, h'(3)=0
Allgemeine Gleichung ... Gleichungssystem ... Matrix im GTR mit rref ... Lösungen: a=0, b=0,5, c=-3, d=5,5
h(x) = 0,5x² - 3x + 5,5

b) An der ersten Übergangsstelle ändert es sich schnell von einer Rechts- in eine Linkskurve. Man müsste dann das Lenkrad ruckartig zur anderen Seite drehen. Diesen Ruck kann man entfernen, indem dort auch die zweiten Ableitungen übereinstimmen. Diese beschreiben schließlich, wie sich die ersten Ableitungen verändern. Wenn sie dort gleich sind, spricht man von "ruckfrei".
Mit zusätzlich h''(1)=-2 und h''(3)=0 folgt:
h(x) = 0,125x⁵ - 1,5x⁴ + 6,75x³ - 13,5x² + 10,125x + 1

	sprungfrei f(x)=g(x)	knickfrei f(x)=g(x) f'(x)=g'(x)	ruckfrei f(x)=g(x) f'(x)=g'(x) f''(x)=g''(x)
Die Graphen treffen sich nicht.	Die Graphen treffen sich.	Die Graphen treffen sich ohne Knick.	Die Graphen treffen sich ohne Knick und mit einem sanften Übergang.

Klausurthemen

Vokabeln

Vokabeln kennen und Frage ausführlich beantworten können: Was ist ein Parameter?

Funktionen mit Parameter

• Nullstellen, y-Achsenabschnitt, Extrema (Hoch-/Tief-), Wendepunkte, Steigung (Ableitung)
  → Sowohl berechnen als auch daraus Parameter-Wert bestimmen (Parametervariation)
• Monotonie und Krümmung erkennen
• Graphen skizzieren und davon ablesen

Gleichungssysteme

• Mit bekanntem Vorgehen und dem GTR lösen
• Sonderfälle „keine Lösung“ und „unendlich Lösungen“ erkennen

Übungsaufgaben

Aufgabe 2: Funktion mit Parameter
Die Funktion f(x) = x³ - 2ax² + a²x soll den Punkt P(2|2) enhalten. Bestimme den Wert des Parameters a dafür.

Aufgabe 3: Gleichungssysteme
Löse das lineare Gleichungssystem mit dem GTR und notiere die Lösungen.

-2x + 4y - 6z = 2
24x + 18y + 30z = 23
10x - 76y + 138z = -74

Aufgabe 4: Besondere Lösungen
Notiere beispielhaft, was der GTR beim Lösen eines Systems von drei Gleichungen mit unendlich vielen Lösungen anzeigen könnte.

Aufgabe 5: Allgemeine Funktionen
Notiere die allgemeinen Funktionsterme einer ganzrationalen Funktion dritten Grades und ihrer ersten und zweiten Ableitung.

Aufgabe 6: Eigenschaften und Bedingungen
Eine Funktion dritten Grades soll bestimmte Eigenschaften haben. Stelle jeweils zu den genannten Eigenschaften die Bedingungen auf und notiere die dazugehörige Gleichung.

1. verläuft durch den Punkt P(3|6)
2. schneidet die y-Achse bei –2
3. hat eine Wendestelle bei x = –2
4. steigt bei x = 1 um 5 an

Aufgabe 7: Mehrere Bedingungen
Notiere alle Bedingungen, die sich aus den folgenden Eigenschaften entnehmen lassen:
„Der Graph der Funktion hat im Punkt (2|–1) einen Wendepunkt und im Ursprung eine waagerechte Tangente.“

Aufgabe 8: Graph zu Funktion
Bestimme die Gleichung der Funktion vierten Grades mit folgendem Graphen:

Aufgabe 9: Textaufgabe
Das Höhenprofil einer 6 km langen Wanderstrecke lässt sich durch eine ganzrationale Funktion dritten Grades beschreiben (Einheiten: x-Achse 1km, y-Achse 100m). Nach 2 km geht es auf einer Strecke von 2km nur noch bergab und ausgehend von einer Höhe von 222m wird dabei ein Höhenunterschied von 44m überwunden. Anschließend führt die Tour wieder bergauf.
Skizziere die Wanderstrecke als Graph und stelle die Gleichung der Funktion auf. Ermittle dann den Punkt, an dem das Gefälle am größten ist.

Lösungen als Kritzel-Bild

Textaufgabe

Bei einer Wasserinstallation treten Wasserstrahlen aus Düsen, die am Boden angebracht sind, unter verschiedenen Winkeln und Geschwindigkeiten aus. Eine der Fontänen hat einen Austrittswinkel von 45° und spritzt in einem parabelförmigen Bogen 6 m weit.

Untersuche, ob ein Jugendlicher, der 1,60 m groß ist, aufrecht unter der Fontäne hindurchgehen kann, ohne nass zu werden.

Lösung

Aufstellen der Funktionsgleichung:

f(x) = ax² + bx + c
f'(x) = 2ax + b

2. Grad -> Es werden 3 Bedingungen benötigt.

f'(0) = 1
f(0) = 0
f(6) = 0

Gleichungssystem:
2a∙0 + b = 1
a∙0² + b∙0 + c = 0
a∙6² + b∙6 + c = 0

Lösungen:
a = -1/6
b = 1
c = 0

Funktion:
f(x) = -1/6x² + x

Höhe des Hochpunktes ermitteln

Funktion in den GTR eingeben, zeichnen lassen und mit [CALC]-maximum den Hochpunkt anzeigen lassen oder mit [TRACE] den Cursor am Graphen entlang gehen.

Antwort: Beim Hochpunkt ist der Graph 1,50 m hoch. Der Jugendliche könnte mit seinen 1,60 m also nicht aufrecht hindurchgehen, ohne nass zu werden.

Abituraufgabe (2021 1B)

Für einen Tag wird die in einen Stausee zufließende Wassermenge betrachtet. Die momentane Zuflussrate wird durch die Funktion f(x) = 0,005x³ - 0,18x² + 1,55x + 2 (x zwischen 0 und 24) beschrieben.
Dabei gibt x die Zeit nach Beobachtungsbeginn in Stunden und f(x) die Zuflussrate des Wassers in 1000 Kubikmeter pro Stunde (100 m³/h) an.
Der Stausee verfügt auch über einen künstlichen Wasserablauf. Gehen Sie zunächst davon aus, dass der Ablauf am Tag der Beobachtung geschlossen ist. Die Abbildung stellt den Graphen der Funktion f dar.

a) Geben Sie f(2) an und interpretieren Sie den Wert im Sachzusammenhang.
Begründen Sie mithilfe des Graphen von f, dass der Wasserstand im Stausee ständig ansteigt.

b) Berechnen Sie die Länge des Zeitraums, in dem die Zuflussrate geringer als 1000 m³/h ist.

c) Bestimmen Sie die maximale Zuflussrate im Beobachtungszeitraum.

d) Bestimmen Sie die Zeitpunkte, an denen die Zuflussrate
- am stärksten abnimmt.
- am stärksten zunimmt.

e) Untersuchen Sie, ob es eine Zuflussrate gibt, die sich eine Stunde später verdoppelt hat.

(Es folgen dann noch Teilaufgaben mit Integralrechnungen, die wir jetzt noch nicht lösen können.)

Lösungen

a) f(2) = 4,42
Die Zuflussrate beträgt 2 Stunden nach Beginn etwa 4420 m³/h.
Der Graph von f verläuft in dem Zeitraum vollständig oberhalb der x-Achse. Deshalb nimmt die Wassermenge ständig zu und der Wasserspiegel steigt.

b) 1000 m³/h bedeutet f(x) = 1. Dies führt zu den Lösungen x₁ = 16,6 und x₂ = 20. Der Zeitraum ist also 3,4 Stunden lang.

c) Hochpunkt bei x = 5,6 mit y = 5,9
Die maximale Zuflussrate beträgt also etwa 5900 m³/h.

d) Es wird die Ableitung f'(x) betrachtet. Sie ist minimal bei x = 12. Also nimmt die Zuflussrate nach 12 Stunden am stärksten ab. Bei x = 0 und x = 24 ist sie in dem Zeitraum maximal. Zu Beginn und nach 24 Stunden nimmt die Zuflussrate also am stärksten zu.

e) Eine Stunde später bedeutet hier (x + 1), da x die Stunden angibt. Eine Verdoppelung entspricht dem doppelten Funktionswert. Es ist also ein x gesucht, für das f(x + 1) = 2∙f(x) gilt. In dem Zeitraum von 0 bis 24 gibt es ein solches x nicht.