Stelle das Grundstück mitsamt Haus in einem Koordinatensystem dar. Gib dann die Koordinaten der Eckpunkte des Grundstücks und des Hauses an. (Bäume und Hecke müssen nicht dargestellt werden.)

Danach: Die Dachspitze befindet sich in 6m Höhe. Zudem ist unter der rechten Seite des Hauses ein Keller, der bis in eine Tiefe von 3m geht. Gib die Koordinaten der Dachspitze und einer Ecke des Kellerbodens an.

Überlege dir, wie man das Haus in einem dreidimensionalem Koordinatensystem darstellen könnte und zeichne die Achsen ein (evtl. Haus vorher skizzieren). Entscheide, welche Achse die x-Achse, die y-Achse und die z-Achse sein könnte. Gib dann die Koordinaten der Dachspitze und einer Ecke des Kellerbodens an.

Auf einer Messe wird ein Tanzroboter vorgeführt. Dieser soll als verlässlicher Tanzpartner zu Trainingszwecken in Tanzschulen eingesetzt werden. Beim Robo-Tanz verfügt der Tanzoboter über folgende Tanzschritte:

Tanzschritt (I): Einen Schritt von 30 cm Länge nach rechts.
Tanzschritt (II): Einen Schritt von 30 cm Länge nach links.
Tanzschritt (III): Einen Schritt von 20 cm Länge nach vorne.
Tanzschritt (IV): Einen Schritt von 15 cm Länge nach hinten.
Tanzschritt (V): Einen diagonalen Schritt von 10 cm vor und 20 cm nach rechts.

Der Roboter ist auf folgende Schrittfolge programmiert:
(I) → (I) → (III) → (IV) → (II) → (V) → (II)

a) Ermittle, wie weit der Tanzroboter danach von seinem Startpunkt entfernt ist.
b) Der Tanzroboter tanzt auf einer rechteckigen Fläche. Bestimme den minimalen Platzbedarf, den er für diese Schrittfolge benötigt.
c) Es soll eine zweite Schrittfolge programmiert werden, die mit Schritt (V) beginnt und am Ausgangspunkt endet. Kläre, ob eine solche Schrittfolge möglich ist. Falls ja, gib sie an.

Stelle den Punkt A(2|–3|–1) in einem Koordinatensystem dar.

Der Punkt A wird um den Vektor ("AB" ) ⃗ = (■8("1" @"4" @"5" )) verschoben. Berechne die Koordinaten von Punkt B. Zeichne den Punkt B und den Verschiebepfeil von A nach B ein.

Der Punkt B wird wiederum verschoben um den Vektor ("BC" ) ⃗ = (■8("2" @"4" @"1" )) Berechne Punkt C. Zeichne den Punkt C und den Verschiebepfeil von B nach C ein.

Wir gehen nun davon aus, dass wir Punkt A direkt mit beiden Verschiebungen zum Punkt C verschieben, ohne B zu berechnen. Zeichne dafür den Verschiebungspfeil von A nach C ein.

Wie könnten die Koordinaten von ("AC" ) ⃗ mit den beiden Verschiebungen ("AB" ) ⃗ und ("BC" ) ⃗ zusammenhängen? Gib eine Berechnungsmöglichkeit für ("AC" ) ⃗ an.

Gib eine allgemeine Formel an, mit der man zwei Vektoren zusammenrechnen kann.

Fürs Verständnis von Geraden sind zwei Dinge besonders wichtig. Geraden bestehen nämlich hauptsächlich aus einer Kombination dieser beiden.

1. Vektoraddition und der Ergebnisvektor:

2. Skalarmultiplikation zur Verlängerung und Umkehrung eines Vektors:

Ein Flugzeug wird in einem Koordinatensystem mit der Einheit km von einer Radarstation erfasst. Zu Beobachtungsbeginn befindet es sich im Punkt P(2|5|2). Eine Minute später wird es im Punkt Q(12|-7|3) geortet. Wir gehen davon aus, dass das Flugzeug seine Richtung und seine Geschwindigkeit die ganze Zeit über nicht verändert.

a) Fertige eine einfache Skizze zur Situation an (ohne genaue Koordinaten).
b) Wo befindet sich das Flugzeug nach 3 Minuten?
c) Untersuche, wo es sich eine halbe Minute vor Beobachtungsbeginn befand.
d) Später wird das Flugzeug noch in den Punkten A(82|-91|10) und B(102|-115|18) geortet. Welcher dieser Punkte befindet sich auf der eigentlichen Flugbahn des Flugzeugs?
e) Entscheide, ob das Flugzeug startet, landet oder geradeaus fliegt.

Eine Gerade kann im dreidimensionalen Raum eindeutig durch zwei Punkte festgelegt werden. Dabei nutzt man einen Punkt als Stützpunkt (und somit dessen Ortsvektor \( \vec{0A} \) als Stützvektor) und den Vektor von diesem Punkt zum zweiten als Richtungsvektor \( \vec{AB} \).

Beispiel: Gib die Parametergleichung einer Geraden an, die durch die Punkte A(3|1|7) und B(5|2|3) verläuft.

Stützvektor: \( \vec{0A} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 7 \end{pmatrix} \)
Richtungsvektor: \( \vec{AB} = \begin{pmatrix} 5 - 3 \\ 2 - 1 \\ 3 - 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix} \)
Parametergleichung: g: \( \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 7 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix} \)

Untersucht werden die Lagebeziehungen zu folgender Geraden:

a: \( \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \)

Frage: Verlaufen die Geraden jeweils in die gleiche oder in eine andere Richtung?

b: \( \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ -4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 9 \end{pmatrix} \)

c: \( \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \)

d: \( \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} \)

e: \( \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix} \)

Antwort: Die Richtungsvektoren von b und von e sind kollinear zum Richtungsvektor von a. Sie verlaufen also in die gleiche Richtung. c und d verlaufen in andere Richtungen.

Frage: b und e verlaufen in der gleichen Richtung wie a. Sind sie jeweils parallel oder identisch mit a?

Zur Unterscheidung wird jeweils eine Punktprobe durchgeführt, indem der Stützvektor in die Gleichung von a eingesetzt wird.

Antwort: b verläuft parallel, weil dessen Stützpunkt nicht auf a liegt. e ist hingegen identisch mit a, weil dessen Stützpunkt auf a liegt und somit die exakt gleiche Gerade beschrieben wird.

(Die weitere Untersuchung von schneidenden und windschiefen Geraden folgt nach der Klausur.)

Beispiel: Berechne den Winkel zwischen \( \vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} \) und \( \vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \).

Skalarprodukt von \( \vec{a} \) und \( \vec{b} \):
2∙1 + 4∙3 + 1∙0 = 2 + 12 + 0 = 14

Betrag von \( \vec{a} \):
\( \sqrt{2^2 + 4^2 + 1^2} \) = 4,58

Betrag von \( \vec{b} \):
\( \sqrt{1^2 + 3^2 + 0^2} \) = 3,16

Winkel zwischen \( \vec{a} \) und \( \vec{b} \):
\( \alpha \) = cos^-1 \( (\frac{14}{4,58 \cdot 3,16}) \) = 14,69°

Die Eckpunkte eines Dachgiebels haben die Koordinaten O(6|1|7), L(3|1|5) und R(9|1|5).

1) Stelle die Vektoren \( \vec{a} \) und \( \vec{b} \) auf, die die Dachschrägen von O nach L und von O nach R darstellen.

2) Berechne die Längen der Dachschrägen.

3) Weise mit dem Skalarprodukt nach, dass die Vektoren nicht orthogonal zueinander sind, der Winkel zwischen ihnen also nicht 90° beträgt.

4) Berechne den genauen Winkel zwischen \( \vec{a} \) und \( \vec{b} \) mit der Winkel-Formel. Stelle vorher sicher, dass der Taschenrechner auf Grad eingestellt ist (MODE -> DEGREE).

Mit welchen Parameterwerten gelangt man zum Punkt X in der Ebene?