Ähnlichkeit

Warum sind die grünen "ähnlich" zum blauen, aber die orangenen nicht?

Weil die grünen die gleichen Winkel haben. Die Winkel der orangenen Dreiecke sind anders.

Ziehe in dieser GeoGebra-Datei am roten Punkt. Das rechte Dreieck kann beliebig groß sein. Da die Winkel aber immer gleich bleiben und so wie beim linken Dreieck sind, sind beide "ähnlich" zueinander.

Streckfaktor

Zusammenfassung

Zwei Dreiecke sind mathematisch „ähnlich“, wenn sie gleiche Winkel haben.

Anmerkung: Es genügt zwei Winkel zu kennen, da alle drei zusammen 180° ergeben.

Arbeitsblatt: Ähnliche Dreiecke

Gleichung umstellen

Je nachdem, ob die gesuchte Seitenlänge im Bruch oben oder unten steht, muss anders umgeformt werden. Hier sind beide Fälle dargestellt:

Themen

Ähnlichkeit

- Erkennen und begründen, wann Dreiecke ähnlich sind (Winkel und Seiten).
- Winkelsumme im Dreieck anwenden.
- Streckfaktor ermitteln und anwenden, um Seitenlängen zu berechnen.

Strahlensätze

- Erkennen, notieren und anwenden, um Längen zu bestimmen.
- (Auch in die andere Richtung.)
- Textaufgabe damit lösen (z.B. Baumhöhe oder Flussbreite).

Trigonometrie

- Ankathete, Gegenkathete und Hypotenuse eines Winkels erkennen.
- Passend Sinus, Kosinus oder Tangens verwenden (GAGA HHAG).
- Eine Seitenlänge mithilfe einer trigonometrischen Funktion bestimmen.
- Wert einer trigonometrischen Funktion berechnen.

Übungen

Übung 1

Ähnlichkeit

Welche grünen Dreiecke A bis D sind ähnlich zum orangenen Dreieck? Entscheide es für jedes Dreieck und formuliere eine kurze Begründung. (Die Zeichnungen sind nicht maßstabsgetreu!)

Übung 2

Längenverhältnisse

Die Seitenlängen von ähnlichen Dreiecken stehen in einem festen Verhältnis k

a) Prüfe, ob die folgenden Dreiecke feste Längenverhältnisse haben und somit ähnlich sind:
(1) a = 4 cm, b = 7 cm, c = 8 cm; a' = 6,8 cm, b' = 11,9 cm, c' = 13,6 cm
(2) a = 12 cm, b = 9 cm, c = 15 cm; a' = 9,6 cm, b' = 7,2 cm, c' = 11,8 cm

b) Ermittle die fehlenden Seitenlängen des ähnlichen Dreiecks:
a = 38 mm, b = 24 mm, c = 56 mm; a' = 57 mm, b' = ?? mm, c' = ?? mm

Übung 3

Strahlensätze

Ermittle die fehlenden Längen.

Übung 4

Textaufgabe

Um die Breite eines Flusses oder Sees zu bestimmen, genügt es dank der Strahlensätze auf nur einer Seite zu messen.

Im Bild hat man zwischen bestimmten Punkten gemessen. Ermittle die Breite des Flusses.

AB = 3,8 m, AM = 2,1 m, CM = 2,9 m

Übung 5

Trigonometrie

Anstatt mit drei Seitenlängen eine vierte zu berechnen, kann man dies auch mit nur einer Seitenlänge und einem Winkel erreichen. Dazu nutzt man die trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens. (Merkhilfe: GAGA HHAG)

Wichtig: Es muss sich dabei um ein rechtwinkliges Dreieck handeln!

Ermittle die fehlenden Seitenlängen in den beiden Dreiecken.