Parabeln strecken und stauchen

Zunächst klären wir, was eine Parabel in der Mathematik eigentlich ist. Dazu nutzen wir ihre Gleichung, eine Wertetabelle und den Graphen. Anschließend lernen wir, was strecken und stauchen dabei bedeutet und ob sie nach oben oder unten geöffnet ist.

Sieh dir dazu das Video an:

Aufgabe

f(x) = 0,5∙x²

a) Erstelle eine Wertetabelle von -4 bis 4.

b) Zeichne die Parabel.

c) Ist sie gestaucht oder gestreckt und ist sie nach oben oder unten geöffnet?

Parabeln verschieben

Nach dem Strecken und Stauchen einer Parabel werden wir sie in y- und in x-Richtung verschieben.

Sieh dir dazu das Video an:

Zusammenfassung

Aufgabe zur Verschiebung

a) Notiere die Gleichung der unten abgebildeten Parabel anhand der Verschiebung in y- und x-Richtung.

b) Skizziere die Parabel zur Gleichung f(x) = (x – 1,5)² – 1

Scheitelpunktform

Parabeln können in verschiedenen Formen angegeben werden. Die erste ergibt sich recht schnell aus den Zusammenhängen, die wir bereits kennen. Und zwar das Strecken oder Stauchen der Normalparabel sowie der Verschiebung in x- und y-Richtung.

Sieh dir dazu das Video an:

Zusammenfassung

Aufgabe zur Scheitelpunktform

Ordne den Graphen die Funktionsgleichungen zu und gib die Scheitelpunkte an.

f(x) = 3∙(x – 4)² – 1

g(x) = 0,25∙(x – 4)² – 1

h(x) = –0,4∙(x + 2,5)² + 4

Nullstellen

Aus Klasse 7 oder 8 kennt ihr Nullstellen bereits von linearen Funktionen. Diese kann es auch bei Parabeln (quadratischen Funktionen) geben. Insebsondere das Berechnen erfordert hier mehr Schritte.

Sieh dir dazu das Video an:

Zusammenfassung

Anzahl: 0, 1 oder 2, je nach Lage.

Ansatz: f(x) = 0
Gleichung einsetzen und schrittweise nach x umstellen.

Angabe als Punkt: („x-Wert“|0)

Aufgabe zu Nullstellen

f(x) = –0,2·(x + 3)² + 5

a) Gib die Funktion in GeoGebra ein.

b) Lies die Nullstellen ab und notiere sie dir.

c) Berechne die Nullstellen schrittweise.

Faktorisierte und allgemeine Form

Sieh dir dazu das Video an:

Faktorisierte Form

Eine quadratische Funktion mit zwei Nullstellen kann in der faktorisierten Form angegeben werden.

Allgemeine Form

Jede quadratische Funktion kann in der allgemeinen Form angegeben werden.

Aufgabe zu den Formen

Gib die Gleichung der Parabel in allen drei Formen an.
Hinweise: Der Streckfaktor lautet 0,25. Für die allgemeine Form muss gerechnet werden.

Quadratische Ergänzung

Für die Umwandlung der allgemeinen Form in die Scheitelpunktform muss man zu einer quadrierten Klammer umformen. Dazu nutzt man die quadratische Ergänzung. Wie diese Funktioniert, erkläre ich dir in einem Video:

Um von der allgemeinen Form zur Scheitelpunktform zu gelangen, muss man manchmal quadratisch ergänzen, damit man den quadrierten Term erhält.

Aufgabe zur quadratischen Ergänzung

a) Wende die quadratische Ergänzung an, um einen Term in Klammern zum Quadrat zu erhalten:

x² - 12x + 28

b) Wandle die allgemeine Form schrittweise mithilfe von a) in die Scheitelpunktform um. (Tipp: 0,5 ausklammern!)

f(x) = 0,5x² - 6x + 14

Übungen bis hierhin

Aufgabe 1

Graph, Tabelle und Funktionswert

Eine Funktion kann unter anderem mit einer Gleichung, einem Graph und einer Tabelle dargestellt werden.

a) Zeichne den Graph der Funktion f(x) = x² - 4 für -3,5 < x < 3,5. (Die x-Achse soll also von -3,5 bis +3,5 gehen.)

b) Berechne den Funktionswert an der Stelle 5. (Stelle bedeutet "x" und Wert bedeutet "f(x)".)

c) Erstelle eine Wertetabelle für -3 < x < 3 in Einer-Schritten.

Aufgabe 2

Streckfaktoren und Verschiebungen

a) Gib die Streckfaktoren der dargestellten Funktionen an. Beschreibe dann in eigenen Worten, wie der Streckfaktor bestimmt wird.

b) Gib jeweils die Verschiebungen in x- und y-Richtung bzgl. der Normalparabel an.

Aufgabe 3

Nullstellen und y-Achsenabschnitt

a) Notiere den Ansatz, den man beim Berechnen von Nullstellen anwendet, und begründe ihn.

b) Der Ansatz zum Berechnen des y-Achsenabschnitts lautet "x = 0". Begründe diesen Ansatz.

c) Berechne die Nullstellen und den y-Achsenabschnitt von f(x) = -0,5(x - 2)² + 4,5. Zur Überprüfung kann der Graph in GeoGebra gezeichnet werden.

Aufgabe 4

Formen

Notiere die drei Formen mit ihren Parametern (a, b, c, ...). Beschreibe dann, was die Parameter jeweils für den Verlauf der Parabel bedeuten.

Aufgabe 5

Scheitelpunktform

Gib die Funktionsgleichungen zu den drei Graphen aus Aufgabe 2 in der Scheitelpunktform an.

Aufgabe 6

Faktorisierte und allgemeine Form

Wandle die Funktion f(x) = -0,5(x - 2)² + 4,5 aus Aufgabe 3.c) schrittweise in die allgemeine Form um und gib sie auch in der faktorisierten Form an.

Aufgabe 7

Quadratische Ergänzung

a) Ergänze quadratisch und wende die binomische Formel an, um eine quadrierte Klammer zu erhalten.

(1) x² + 8x
(2) 2x² - 12x + 2
(3) -0,25x² - x - 3

b) Wandle die Funktionsgleichung f(x) = 3x² - 30x + 81 in die Scheitelpunktform um und gib die Koordinaten des Scheitelpunktes an.

Aufgabe 8

Architektur

Der Berliner Bogen in Hamburg ist ein Bürogebäude, das parabelförmig konstruiert ist. Durch seine Form ist es äußerst stabil, ohne dafür viel Material zu benötigen. Mit einer Breite von 70m, einer Höhe von 36m und einer Tiefe von 140m bietet es auf rund 32.000 Quadratmetern Platz für mehr als 1.200 Arbeitsplätze.

Bildquelle: https://www.baunetz-architekten.de/hadi-teherani/4220591/projekt/4269649

Ermittle mithilfe von GeoGebra die Parabelgleichung des Gebäudes. Tipp: Die faktorisierte Form erleichtert es. Danach muss ausprobiert werden.

p-q-Formel

Anstatt immer die quadratische Ergänzung anzuwenden, die mitunter nicht so leicht zu erkennen ist, kann man eine allgemeine Formel verwenden, mit der quadratische Gleichungen gelöst werden können. Dazu müssen sie eine bestimmte Form (die Normalform) haben. Dann muss man nur noch in diese allgemeine Formel (die p-q-Formel) einsetzen und hat sofort die beiden Lösungen x₁ und x₂.

Quadratische Gleichungen in der Normalform

x² + px + q = 0

können direkt mit der p-q-Formel gelöst werden:

Herleitung

Beispiel

Folgende Gleichung in der Normalform soll gelöst werden:

x² + 4x - 5 = 0

(Wichtig: ein Minus vor p oder q muss beachtet werden!)

p = 4; q = -5

Einsetzen in die Formel und ausrechnen:

x_1,2 = -\(\frac{\text{p}}{\text{2}}\) ± \(\sqrt{(\frac{\text{p}}{\text{2}})^\text{2}-\text{q}}\)
= -\(\frac{\text{4}}{\text{2}}\) ± \(\sqrt{(\frac{\text{4}}{\text{2}})^\text{2}-\text{(-5)}}\)
= -2 ± \(\sqrt{(2)^\text{2}-\text{(-5)}}\)
= -2 ± \(\sqrt{\text{4 - (-5)}}\)
= -2 ± \(\sqrt{\text{4 + 5}}\)
= -2 ± \(\sqrt{\text{9}}\)
= -2 ± 3
x₁ = -2 + 3 = 1, x₂ = -2 - 3 = -5