Umfang

Einstieg

Holt euch von vorne die Materialien für den Umfang:

- Ein paar runde Gegenstände (3-4).

- Ein paar Schnüre.

- Eventuell Lineale, falls ihr keine habt.

- Eine Tabelle zum Ausfüllen.

Messt jeweils den Durchmesser eines Gegenstands und notiert dessen Namen und seinen Durchmesser d in der Tabelle.

Bestimmt den Umfang U jedes Gegenstands und notiert ihn in der Tabelle. Falls ihr kein flexibles Maßband habt, könnt ihr eine Schnur um den Gegenstand legen, merken bis wohin die Schnur bei einer Umwicklung geht, und messt dann die Länge an der Schnur.

Berechnet jeweils den Quotienten aus dem Umfang U und dem Durchmesser d. Ein Quotient ist das Ergebnis einer Division (geteilt).

Bildet den Mittelwert der Quotienten und notiert ihn.

Wenn ihr den mittleren Quotienten brechnet habt, merkt ihr euch folgende Formel:

Umfang = "euer Quotient" ∙ Durchmesser

Schaue dir folgendes Video an: YouTube: Lehrerschmidt (Das Ende zum Halbkreis ist nicht nötig.)

Schaue dir auch dieses Video an: ARD: Grips - Mathe

Notizen

Lege jetzt eine neue GoodNotes-Seite für den "Umfang eines Kreises" in deiner Mathe-Mappe an.

- Notiere die wichtigsten Stichpunkte zu dem Thema. (Am besten nur aus der Erinnerung von dem, was du gerade gelernt hast.)

- Fertige eine passende Zeichnung dazu an.

- Füge eine Beispielrechnung ein, bei der du später immer schnell nachsehen kannst, wie man den Umfang berechnet.

Bronze

Zum Verstehen! Die Aufgaben sind alle Pflicht. Damit sollen das Thema und die Berechnungen grundlegend verstanden werden.

Aufgabe 1

Berechne jeweils den Umfang der Kreise.

Lösungen

25,13 cm und 201,06 mm

Aufgabe 2

Berechne jeweils den Umfang der Kreise mit Radius r = 1 m und r = 2 m.

Lösungen

6,28 m und 12,57 m

Aufgabe 3

Tina isst gerne Pizza, mag aber den Rand nicht. Den lässt sie immer ihrem Papa Torsten übrig. Wenn sie eine Pizza mit einem Durchmesser von 26 cm isst, wie lang ist dann der Rand, den Torsten bekommt?

Lösungen

81,68 cm

Aufgabe 4

Umkehrung der Formel U = π∙d:

Wenn bekannt ist, wie lang der Umfang eines Kreises ist, kann umgekehrt sein Durchmesser berechnet werden. Stelle dafür die Formel nach d um.

Berechne den Durchmesser eines Kreises, der einen Umfang von 13,35 cm hat.

Lösungen

d = U/π
4,25 cm

Aufgabe 5

Fülle die Tabelle aus. Runde die Ergebnisse auf eine Nachkommastelle. Bedenke dabei, dass der Radius immer die Hälfte des Durchmessers ist.

	a)	b)	c)	d)
r		9,1
d	12,4		150,6
U				10,7

Lösungen

	a)	b)	c)	d)
r	6,2	9,1	75,3	1,7
d	12,4	18,2	150,6	3,4
U	39,0	57,18	473,1	10,7

Aufgabe 6

Den Durchmesser eines Eichenstammes kann man eigentlich ganz einfach herausfinden. Man fällt die Eiche und misst nach. Marvin denkt sich aber, dass es viel zu schade ist, dafür den ganzen Baum zu fällen und denkt drüber nach, wie man es sonst herausfinden könnte.

Überlege dir eine Methode, die man mit einem Maßband ohne Fällen des Baumes anwenden kann. Denke dir dann eine ungefähre Messung aus und wende deine Methode zur Bestimmung des Durchmessers an.

Lösungen

Man misst den Umfang des Baumes und teilt diesen durch π.

Silber

Zum Üben! Die Aufgaben sind Wahlpflicht. Wie viele Teilaufgaben gelöst werden, kann jeder selbst entscheiden. Damit soll man im Thema und den Berechnungen sicherer werden.

Aufgabe 1

Berechne den Umfang eines Kreises mit dem ...

a) Durchmesser d = 1 cm.

b) Durchmesser d = 18 cm.

c) Durchmesser d = 47 m.

d) Radius r = 12 cm.

e) Radius r = 9 mm.

Lösungen

a) 3,14 cm
b) 56,55 cm
c) 147,65 m
d) 75,40 cm
e) 56,55 mm

Aufgabe 2

Berechne jeweils den Umfang der Kreise.

Lösungen

75,71 cm, 47,12 cm
35,19 cm, 58,75 cm

Aufgabe 3

Berechne den Radius eines Kreises mit dem ...

a) Umfang U = 65 m.

b) Umfang U = 180 mm.

c) Durchmesser d = 50 m.

Lösungen

a) 10,35 m
b) 28,65 mm
c) 25 m

Aufgabe 4

Verwende den Geometrie-Rechner von GeoGebra, um dich damit vertraut zu machen. Er kann alle Kreisgrößen anzeigen lassen, ohne das sie selbst berechnet werden müssen. Nutze dafür unter anderem die dargestellten Werkzeuge, die bei "Kreise" bzw. "Messen" zu finden sind. (Eventuell muss unten "MEHR" angetippt werden, um alle Werkzeuge zu sehen.)

Erzeuge damit einen Kreis mit einem Radius von 6 cm und lass dir die Länge seines Umfangs anzeigen. Notiere sie auf zwei Nachkommastellen genau.

Lösungen

37,70 cm

Aufgabe 5

Fülle die Tabelle aus. Runde die Ergebnisse auf eine Nachkommastelle. Bedenke dabei, dass der Radius immer die Hälfte des Durchmessers ist.

	a)	b)	c)	d)	e)
r	23,5
d		30,0	162,8
U				38,4	240,0

Lösungen

	a)	b)	c)	d)	e)
r	23,5	15,0	81,4	6,1	38,2
d	47,0	30,0	162,8	12,2	76,4
U	147,7	94,3	511,45	38,4	240,0

Aufgabe 6

Fahrräder gibt es in verschiedenen Größen. Im Allgemeinen ist die Rahmenhöhe angegeben. Aber natürlich macht auch die Reifengröße etwas aus und ist je nach Einsatzzweck unterschiedlich.

a) Berechne, wie weit ein Kinderfahrrad kommt, wenn der Reifen einen Durchmesser von 500 mm hat und sich einmal dreht.

b) Berechne, wie weit ein Jugendfahrrad kommt, wenn der Reifen einen Durchmesser von 61,4 cm hat und sich fünfmal dreht.

c) Berechne, welchen Durchmesser der Reifen eines Cityrades hat, wenn es bei zwei Umdrehungen eine Strecke von 4,50 m zurücklegt.

Lösungen

a) 1,57 m
b) 1,93 m mal 5 = 9,64 m
c) 71,6 cm

Aufgabe 7

Eine Firma produziert runde Tischdecken, die am Rand umgenäht sind (der sogenannten Borte). Berechne die Länge der Borte, wenn ...

a) der Durchmesser 1,60 m beträgt.

b) der Radius 54 cm beträgt

c) der Durchmesser 210 cm beträgt

Lösungen

a) 5,03 m
b) 3,39 m
c) 6,60 m

Weitere Berechnungen

Prüft euch gegenseitig mit dem folgenden GeoGebra-Link. Verstellt dabei die Werte an den größeren Punkten und fragt einen der Werte ab. Jemand anderes soll diesen berechnen, indem ihr die anderen Werte angebt. Wechselt euch dabei ab und fragt auch unterschiedliche Kreisgrößen (Radius, Durchmesser, ...) ab. (Falls du alleine arbeitest, kannst du durch Berechnungen jeweils einen der Werte bestätigen.)

GeoGebra-Link: GeoGebra: Umfang

Gold

Zum Meistern! Die Aufgaben sind freiwillig. Damit sollen das Thema und die Berechnungen vertieft und ergänzt werden.

Aufgabe 1

Simon und Nora fahren mit dem Kinder-Karussell. Simon fährt in einem Auto (Entfernung von der Achse 3,50 m), Nora sitzt auf einem Pferd (Entfernung von der Achse 2,90 m). Wie weit sind Simon und Nora jeweils gefahren, wenn sich das Karussell pro Fahrt 15- mal dreht?

Aufgabe 2

Ein Fahrradreifen ist 28 Zoll groß. Wie viele Umdrehungen macht er auf einer Strecke von 100 m?

Erweiterung der Aufgabe: Wie viele Umdrehung/Minute macht der Reifen bei 20 km/h?

Aufgabe 3

Begründe, wie sich der Umfang eines Kreises verändert, wenn sich sein Radius verdoppelt (verdreifacht, halbiert).