Kreissegment

Einstieg

Holt euch von vorne die Materialien für den Flächeninhalt:

- Ein Blatt mit Pizza und Pizzastücken.

- Scheren.

Schneidet die Pizza und die Pizzastücke aus.

Die genaue Mitte der Pizza ist mit einem kleinen Punkt markiert. Runderhum ist 360° Pizza.

Berechnet den genauen Flächeninhalt der gesamten Pizza.

Leute teilen ihre Pizza oft in unterschiedlich viele Pizzastücke. Ihr habt hier die drei häufigsten Größen.

Messt die Innenwinkel der Pizzastücke (mit α markiert) und überlegt dann, wie die 360° geteilt wurden.

Ermittelt mit der jeweiligen Einteilung der 360°, wie groß der genaue Flächeninhalt eines jeden Pizzastücks ist.

Schaue dir folgendes Video an: YouTube: Lehrerschmidt

Schaue dir auch dieses Video an: ARD: Grips - Mathe (Ab Minute 10 gucken, da vorher der gesamte Flächeninhalt thematisiert wird.)

Notizen

Lege jetzt eine neue GoodNotes-Seite für den "Fläche eines Kreissegments" in deiner Mathe-Mappe an.

- Notiere die wichtigsten Stichpunkte zu dem Thema. (Am besten nur aus der Erinnerung von dem, was du gerade gelernt hast.)

- Fertige eine passende Zeichnung dazu an.

- Füge eine Beispielrechnung ein, bei der du später immer schnell nachsehen kannst, wie man die Fläche eines Kreissegments berechnet.

Bronze

Zum Verstehen! Die Aufgaben sind alle Pflicht. Damit sollen das Thema und die Berechnungen grundlegend verstanden werden.

Aufgabe 1

Berechne die Flächeninhalte der drei dargestellten Kreissegmente.

Lösungen

56,75 cm², 16,37 cm² und 190,07 cm²

Aufgabe 2

Berechne den gesamten Flächeninhalt der Figur. (Tipp: Es handelt sich viermal um die gleiche Form plus ein keines Quadrat.)

Lösungen

Vier Viertelkreise mit Radien 1, 2, 3 und 4 cm sowie ein Quadrat mit einer Länge von 1 cm.
0,79 cm² + 3,14 cm² + 7,07 cm² + 12,57 cm² + 1 cm² = 24,57 cm²

Aufgabe 3

Bei einem alten Computerspiel aus 1980ern steuerte man eine Figur namens Pac-Man, die in einem Labyrinth Geistern ausweichen und dabei Punkte auffressen musste. Dafür ging ihr Mund immer auf und zu. In der Abbildung ist der Mund zu einem Viertel des Kreises geöffnet. Der Radius von Pac-Man soll hier 2 cm betragen.

Berechne den Flächeninhalt der dargestellten Pac-Man-Figur.

Lösungen

9,42 cm²

Aufgabe 4

Ein Deko-Element aus Steinen in einer Mauer ist halbkreisförmig mit einem Durchmesser von 140 cm. Es ist in sechs gleich große Kreissegmente unterteilt. (Fertige eventuell eine Skizze als Hilfe an.)

Gib den Winkel α eines einzelnen Kreissegments an und berechne dessen Flächeninhalt.

Lösungen

Je Kreissegment sind es 30° und ein Flächeninhalt von 1282,72 cm²

Aufgabe 5

Bislang wurde immer der Flächeninhalt eines Kreisbogens aufgrund seines Radius und des Winkels berechnet. Die Formel kann aber auch umgestellt werden, um den Radius oder den Winkel zu berechnen.

a) Ermittle den Radius r eines Kreissegments, der einen Flächeninhalt von 77,3 cm² und einen Winkel von 120° besitzt (Abb. links).

b) Ermittle den Winkel α eines Kreissegments, der 14 cm² groß ist und einen Radius von 6 cm besitzt (Abb. rechts).

Lösungen

r = Wurzel(A*360°/(α*π)) = 8,59 cm
α = A*360°/(π*r²) = 44,56°

Silber

Zum Üben! Die Aufgaben sind Wahlpflicht. Wie viele Teilaufgaben gelöst werden, kann jeder selbst entscheiden. Damit soll man im Thema und den Berechnungen sicherer werden.

Aufgabe 1

Berechne den Flächeninhalt eines Kreissegments mit ...

a) Radius r = 5 cm und α = 60°.

b) Radius r = 23 cm und α = 45°.

c) Durchmesser d = 36 mm und α = 225°.

d) Durchmesser d = 2 cm und α = 30°.

Lösungen

a) 13,09 cm
b) 207,74 cm
c) 636,17 mm
d) 0,26 cm

Aufgabe 2

Ermittle den gesamten Flächeninhalt der Figur.

Lösungen

50,46 cm²

Aufgabe 3

Fülle die Tabelle aus. Runde die Ergebnisse auf eine Nachkommastelle. Erinnerung: In der Bronze-Aufgabe 5 wurde die Formel schon umgestellt, um auch den Radius r und den Winkel α zu berechnen.

	a)	b)	c)	d)	e)
r	8 mm	30 cm		165 m	19 cm
α	30°	70°	150°
A			63 cm2	345 m2	8200 mm2

Lösungen

	a)	b)	c)	d)	e)
r	8 mm	30 cm	6,94 cm	165 m	19 cm
α	30°	70°	150°	1,45°	26,03°
A	16,76 mm²	549,78 cm²	63 cm2	345 m2	8200 mm2

Aufgabe 4

Verwende den Geometrie-Rechner von GeoGebra, um dich damit vertraut zu machen. Er kann alle Kreisgrößen anzeigen lassen, ohne das sie selbst berechnet werden müssen. Nutze dafür unter anderem die dargestellten Werkzeuge, die bei "Kreise" bzw. "Messen" zu finden sind. (Eventuell muss unten "MEHR" angetippt werden, um alle Werkzeuge zu sehen.)

Erzeuge damit ein Kreissegment mit einem Radius von 6 cm und einem Winkel von 70° und lass dir den Flächeninhalt anzeigen. Notiere ihn auf zwei Nachkommastellen genau.

Lösungen

21,99 cm²

Aufgabe 5

Ein Rasensprenger dreht sich um 45° und bewässert damit eine Rasenfläche von 24 m². Wie weit sprüht der Rasensprenger dabei?

Lösungen

7,82 m (Radius)

Weitere Berechnungen

Prüft euch gegenseitig mit dem folgenden GeoGebra-Link. Verstellt dabei die Werte an den größeren Punkten und fragt einen der Werte ab. Jemand anderes soll diesen berechnen, indem ihr die anderen Werte angebt. Wechselt euch dabei ab und fragt auch unterschiedliche Kreisgrößen (Radius, Durchmesser, ...) ab. (Falls du alleine arbeitest, kannst du durch Berechnungen jeweils einen der Werte bestätigen.)

GeoGebra-Link: GeoGebra: Kreissegment

Gold

Zum Meistern! Die Aufgaben sind freiwillig. Damit sollen das Thema und die Berechnungen vertieft und ergänzt werden.

Aufgabe 1

Ein Parkteich hat die Form eines Kreissegments. Er hat einen Radius von 12 m, der Mittelpunktswinkel beträgt 110°.

Der Teich soll mit einer Folie ausgelegt werden. Die Folie kostet 8,50 € pro m². Ermittle die Gesamtkosten.

Aufgabe 2

Bestimme den dargestellten Flächeninhalt A.

Aufgabe 3

Berechne das Volumen des Käsestücks (Löcher im Käse können ignoriert werden), wenn der Schnittwinkel 38° beträgt und der Käselaib 8 cm hoch und insgesamt 23 cm breit ist.

Aufgabe 4

Gib begründet an, wie sich die Fläche eines Kreisbogens verändert, wenn sich der Winkel verdoppelt (verdreifacht, halbiert) oder wenn sich der Radius verdoppelt (verdreifacht, halbiert).