Kreisbogen

Einstieg

Holt euch von vorne die Materialien für den Flächeninhalt:

- Eine ausgedruckte Uhr.

- Geodreicke, falls ihr keine habt.

Diese Infos sind hoffentlich nichts neues:

- Der Minutenzeiger einer Uhr dreht sich in einer Stunde einmal ganz herum (360°).

- Der Sekundenzeiger macht dies in einer Minute.

- Der Stundenzeiger macht dies in 12 Stunden (ein halber Tag).

Messt die Länge des Minutenzeigers vom Mittelpunkt aus (das ist sein Radius) und berechnet die Strecke, die seine Spitze in einer Stunde zurücklegt.

Um welchen Winkel dreht sich der Minutenzeiger in 15 Minuten? Und in 5 Minuten? (Ihr könnt zur Kontrolle messen.)

Berechnet mithilfe der gesamten Strecke einer Stunde, wie viel Strecke die Spitze des Minutenzeigers in 15 Minuten zurücklegt (und in 5 Minuten). (Tipp: 15 Minuten nennt man auch eine Viertelstunde.)

Solch eine Teilstrecke vom ganzen Umfang nennt man Kreisbogen. Wie lang ist der Kreisbogen des Stundenzeigers in 4 Stunden? Um welchen Winkel dreht er sich dabei?

Wie lang ist der Kreisbogen des Sekundenzeigers in 45 Sekunden? Um welchen Winkel dreht er sich dabei? Wie kann man von der Gradzahl auf die Dreiviertel-Minute schließen?

Erklärt euch gegenseitig die beiden folgenden Formeln (falls du alleine arbeitest, versuche sie einfach zu verstehen):

Länge des Kreisbogens = Winkel : 360° ∙ Umfang

Länge des Kreisbogens = Winkel : 180° ∙ π ∙ Radius

Schaue dir folgendes Video an: YouTube: Lehrerschmidt

Notizen

Lege jetzt eine neue GoodNotes-Seite für den "Länge eines Kreisbogens" in deiner Mathe-Mappe an.

- Notiere die wichtigsten Stichpunkte zu dem Thema. Falls du eine Formel notierst, sollte sie am besten den Radius beinhalten anstatt des Durchmessers. (Ansonsten am besten nur aus der Erinnerung von dem, was du gerade gelernt hast.)

- Fertige eine passende Zeichnung dazu an.

- Füge eine Beispielrechnung ein, bei der du später immer schnell nachsehen kannst, wie man die Länge eines Kreisbogens berechnet.

Bronze

Zum Verstehen! Die Aufgaben sind alle Pflicht. Damit sollen das Thema und die Berechnungen grundlegend verstanden werden.

Aufgabe 1

Berechne die Längen der drei dargestellten Kreisbögen.

Lösungen

13,35 cm, 8,85 cm und 34,56 cm

Aufgabe 2

Berechne die Länge der gebogenen Linie. (Tipp: Es handelt sich viermal um die gleiche Form.)

Lösungen

Vier Viertelkreise mit Radien 1, 2, 3 und 4 cm.
1,57 cm + 3,14 cm + 4,71 cm + 6,28 cm = 15,70 cm

Aufgabe 3

Bei einem alten Computerspiel aus 1980ern steuerte man eine Figur namens Pac-Man, die in einem Labyrinth Geistern ausweichen und dabei Punkte auffressen musste. Dafür ging ihr Mund immer auf und zu. In der Abbildung ist der Mund zu einem Viertel des Kreises geöffnet. Der Radius von Pac-Man soll hier 2 cm betragen.

Berechne die gesamte Länge der Außenkante der dargestellten Pac-Man-Figur.

Lösungen

Der Kreisbogen mit 270° ist 9,42 cm lang. Für den Mund kommen noch zweimal 2 cm hinzu. Also insgesamt 13,42 cm.

Aufgabe 4

Die Erde hat einen Radius von 6371 km. Brake hat einen Breitengrad von ca. 53,3° Nord. Der Äquator definiert 0°. Berechne die Entfernung von Brake zum Äquator als Kreisbogen auf der Oberfläche der Erde.

(Eine Skizze der Erde mit der Position von Brake und dem Äquator kann eventuell helfen.)

Lösungen

5926,69 km

Aufgabe 5

Bislang wurde immer die Länge eines Kreisbogens aufgrund seines Radius und des Winkels berechnet. Die Formel kann aber auch umgestellt werden, um den Radius oder den Winkel zu berechnen.

a) Ermittle den Radius r eines Kreisbogens, der 15 cm lang ist und einen Winkel von 120° besitzt (Abb. links).

b) Ermittle den Winkel α eines Kreisbogens, der 4 cm lang ist und einen Radius von 6 cm besitzt (Abb. rechts).

Lösungen

r = b*360/(α*2*π) = 7,16 cm
α = b*360/(r*π) = 76,39°

Silber

Zum Üben! Die Aufgaben sind Wahlpflicht. Wie viele Teilaufgaben gelöst werden, kann jeder selbst entscheiden. Damit soll man im Thema und den Berechnungen sicherer werden.

Aufgabe 1

Berechne die Länge des Kreisbogens mit ...

a) Radius r = 5 cm und α = 60°.

b) Radius r = 23 cm und α = 45°.

c) Durchmesser d = 36 mm und α = 225°.

d) Durchmesser d = 2 cm und α = 30°.

Lösungen

a) 5,24 cm
b) 18,06 cm
c) 70,69 mm
d) 0,52 cm

Aufgabe 2

Ermittle die gesamte Länge der Außenkante der Figur.

Lösungen

40,84 cm

Aufgabe 3

Bei der Berechnung der Länge von Kreisbögen geht es immer um den Anteil des gesamten Umfangs. Diesen bestimmt man mit "Winkel durch 360°", da der gesamte Umfang mit 360° einmal um den Kreis verläuft. Ein paar Winkelgrößen lassen sich leicht berechnen, weil bei ihnen "glatte" Zahlen entstehen. So sind 180° beispielsweise immer die Hälfte und 120° immer ein Drittel.

Fülle die Tabelle passend aus, um eine Übersicht einfacher Winkel zu erhalten.

α	180°	120°		72°		45°		30°
Anteil	1/2		1/4		1/6		1/10

Lösungen

α	180°	120°	90°	72°	60°	45°	36°	30°
Anteil	1/2	1/3	1/4	1/5	1/6	1/8	1/10	1/12

Aufgabe 4

Fülle die Tabelle aus. Runde die Ergebnisse auf eine Nachkommastelle. Erinnerung: In der Bronze-Aufgabe 5 wurde die Formel schon umgestellt, um auch den Radius r und den Winkel α zu berechnen.

	a)	b)	c)	d)	e)
r	8 mm	30 cm		165 m	19 cm
α	30°	70°	150°
b			27 cm	212 m	340 mm

Lösungen

	a)	b)	c)	d)	e)
r	8 mm	30 cm	20,63 cm	165 m	19 cm
α	30°	70°	150°	147,23°	205,06°
b	4,19 mm	36,65 cm	27 cm	212 m	340 mm

Aufgabe 5

Verwende den Geometrie-Rechner von GeoGebra, um dich damit vertraut zu machen. Er kann alle Kreisgrößen anzeigen lassen, ohne das sie selbst berechnet werden müssen. Nutze dafür unter anderem die dargestellten Werkzeuge, die bei "Kreise" bzw. "Messen" zu finden sind. (Eventuell muss unten "MEHR" angetippt werden, um alle Werkzeuge zu sehen.)

Erzeuge damit einen Kreisbogen mit einem Radius von 6 cm und einem Winkel von 70° und lass dir seine Länge anzeigen. Notiere sie auf zwei Nachkommastellen genau.

Lösungen

7,33 cm

Aufgabe 6

Das Riesenrad auf dem Kramermarkt in Oldenburg ist insgesamt ca. 60 m hoch. Abzüglich des Unterbaus zum Einstieg, hat es einen Durchmesser von 54 m. Wie viele Meter legt eine Gondel zurück, wenn sich das Rad um 120° dreht?

Lösungen

Die Gondel legt dabei 56,55 m zurück.

Weitere Berechnungen

Prüft euch gegenseitig mit dem folgenden GeoGebra-Link. Verstellt dabei die Werte an den größeren Punkten und fragt einen der Werte ab. Jemand anderes soll diesen berechnen, indem ihr die anderen Werte angebt. Wechselt euch dabei ab und fragt auch unterschiedliche Kreisgrößen (Radius, Durchmesser, ...) ab. (Falls du alleine arbeitest, kannst du durch Berechnungen jeweils einen der Werte bestätigen.)

GeoGebra-Link: GeoGebra: Kreisbogen

Gold

Zum Meistern! Die Aufgaben sind freiwillig. Damit sollen das Thema und die Berechnungen vertieft und ergänzt werden.

Aufgabe 1

Die Hauptstadt Quito von Ecuador Quito liegt am Äquator mit einem Längengrad von 78,3° West. Die Stadt Macapa in Brasilien liegt bei 51,3° West. Auf der anderen Seite des Nullmeridian befindet sich Gabuns Hauptstadt Libreville (in Afrika) bei einem Längengrad von 9,2° Ost am Äquator.

Ermittle die Entfernungen der drei Städte untereinander.

Aufgabe 2

Recherchiere, in welcher Höhe und mit welcher Geschwindigkeit sich die Internationale Raumstation (ISS) bewegt.

Ermittle damit, wie weit sie in einer Stunde fliegt und welchen Winkel sie auf der Erdoberfläche dabei überfliegt. (Erinnerung: Der Umfang der Erde beträgt 40.000 km.)

(Diese Aufgabe kann man einfach, aber etwas ungenau, oder schwierig, aber genauer, lösen.)