Flächeninhalt

Einstieg

Holt euch von vorne die Materialien für den Flächeninhalt:

- Ein 3D-gedruckter Kreis mit markiertem Radius.

- Ein Blatt mit karierten Quadraten.

- Scheren.

Schneidet die Quadrate an den dicken Linien aus. (Die dünnen Linien dienen nur als Hilfe für gleich.)

Ihr werdet feststellen, dass der Radius des Kreises so lang ist wie die Seitenlänge eines Quadrates. Überprüft das.

Eure Aufgabe wird es nun sein, die Fläche des Kreises als Vielfaches der Radiusquadrate zu bestimmen. Dabei soll das Vielfache möglichst genau ermittelt werden (Auf mindestens eine Kommastelle). Wie viele Radiusquadrate ergeben also die genaue Kreisfläche? Ihr dürft die Radiusquadrate dafür zerschneiden. Als Hilfe sind sie nochmal eingeteilt. Ein Neuntel entspricht 0,11.

Wenn ihr die Zahl gefunden habt, merkt ihr euch folgende Formel:

Kreisfläche = "eure Zahl" ∙ Radiusquadrat

Schaue dir auch folgendes Video an: YouTube: Lehrerschmidt

Schaue dir auch dieses Video an: ARD: Grips - Mathe (Nur bis Minute 10 gucken, da dann Kreissegmente thematisiert werden.)

Notizen

Lege jetzt eine neue GoodNotes-Seite für den "Flächeninhalt eines Kreises" in deiner Mathe-Mappe an.

- Notiere die wichtigsten Stichpunkte zu dem Thema. (Am besten nur aus der Erinnerung von dem, was du gerade gelernt hast.)

- Fertige eine passende Zeichnung dazu an.

- Füge eine Beispielrechnung ein, bei der du später immer schnell nachsehen kannst, wie man den Flächeninhalt berechnet.

Bronze

Zum Verstehen! Die Aufgaben sind alle Pflicht. Damit sollen das Thema und die Berechnungen grundlegend verstanden werden.

Aufgabe 1

Berechne jeweils den Flächeninhalt der Kreise. Bedenke, dass die Länge des Radius der Hälfte des Durchmessers entspricht.

Lösungen

Links: 50,27 cm²
Rechts: 3216,99 mm²

Aufgabe 2

Berechne jeweils die Flächeninhalte der Kreise mit Radius r = 1 m und r = 2 m.

Lösungen

3,14 m² und 12,57 m²
(Hieran sieht man, dass sich die Fläche nicht verdoppelt, wenn sich der Radius verdoppelt.)

Aufgabe 3

Eine runde Kuchen-Springform ist meistens 26 cm breit. Wie groß ist der Flächeninhalt, der mit Kuchenboden belegt werden muss? Berechne.

Lösungen

530,93 cm²

Aufgabe 4

Umkehrung der Formel A = π∙r²:

Wenn bekannt ist, wie groß der Flächeninhalt eines Kreises ist, kann umgekehrt sein Radius berechnet werden. Stelle dafür die Formel nach r um. (Tipp: Wurzel ziehen)

Berechne den Radius und den Durchmesser eines Kreises, der einen Flächeninhalt von 78,5 cm² hat.

Lösungen

r = Wurzel(A/π)
Der Radius ist 5 cm und der Durchmesser 10 cm.

Aufgabe 5

Fülle die Tabelle aus. Runde die Ergebnisse auf eine Nachkommastelle. Bedenke dabei, dass der Radius immer die Hälfte des Durchmessers ist.

	a)	b)	c)	d)
r	6,0		24,5
d		12,0
A				15,7

Lösungen

	a)	b)	c)	d)
r	6,0	6,0	24,5	2,24
d	12,0	12,0	49,0	4,48
A	113,10	113,10	1885,74	15,7

Aufgabe 6

(Arbeite für diese Aufgabe mit dem Geometrie-Rechner von GeoGebra.)

Der Bauer Josef hat zwei Schafe, Anneliese und Brunhilde. Jedes Schaf bekommt einen Teil seiner Wiese zum Grasen, indem er jeweils einen Pflock in den Boden steckt und das Schaf daran anbindet.

Der Pflock von Anneliese befindet sich im Punkt (5|5) mit einem 2 m langen Seil. Der Pflock von Brunhilde ist im Punkt (9|6) befestigt. Sie hat ein Seil mit einer Länge von 3 m. Überprüfe, ob die beiden Schafe sich einen Teil der Wiese teilen müssen.

Lösungen

Ja müssen sie, weil sich die Kreise überschneiden.

Silber

Zum Üben! Die Aufgaben sind Wahlpflicht. Wie viele Teilaufgaben gelöst werden, kann jeder selbst entscheiden. Damit soll man im Thema und den Berechnungen sicherer werden.

Aufgabe 1

Berechne den Flächeninhalt eines Kreises mit dem ...

a) Durchmesser d = 1 cm.

b) Durchmesser d = 18 cm.

c) Durchmesser d = 47 m.

d) Radius r = 12 cm.

e) Radius r = 9 mm.

Lösungen

0,79 cm², 254,47 cm², 1734,94 m², 452,39 cm², 254,47 mm²

Aufgabe 2

Berechne jeweils den Flächeninhalt der Kreise.

Lösungen

456,17 cm², 176,71 cm²
98,52 cm², 274,65 cm²

Aufgabe 3

Berechne den Radius eines Kreises mit dem ...

a) Flächeninhalt A = 341,16 m.

b) Flächeninhalt A = 56,75 mm.

c) Durchmesser d = 26 m.

Lösungen

10 m, 4,25 mm, 13 m

Aufgabe 4

Fülle die Tabelle aus. Runde die Ergebnisse auf eine Nachkommastelle. Bedenke dabei, dass der Radius immer die Hälfte des Durchmessers ist.

	a)	b)	c)	d)	e)
r	12,5
d		70,0	162,8
A				158,2	2860,0

Lösungen

	a)	b)	c)	d)	e)
r	12,5	35	81,4	7,1	30,2
d	25,0	70,0	162,8	14,2	60,4
A	490,9	3848,45	20816,1	158,2	2860,0

Aufgabe 5

Verwende den Geometrie-Rechner von GeoGebra, um dich damit vertraut zu machen. Er kann alle Kreisgrößen anzeigen lassen, ohne das sie selbst berechnet werden müssen. Nutze dafür unter anderem die dargestellten Werkzeuge, die bei "Kreise" bzw. "Messen" zu finden sind. (Eventuell muss unten "MEHR" angetippt werden, um alle Werkzeuge zu sehen.)

Erzeuge damit einen Kreis mit einem Radius von 6 cm und lass dir den Flächeninhalt anzeigen. Notiere ihn auf zwei Nachkommastellen genau.

Lösungen

113,10 cm²

Aufgabe 6

Eine Pizzeria bietet eine kleine Pizza mit einem Durchmesser von 20 cm für 8 Euro an und eine große Pizza mit einem Durchmesser von 30 cm für 16 Euro.

Jonas und Frieda überlegen, ob sie sich jeder eine kleine Pizza kaufen oder eine große Pizza teilen. Bei welcher Variante bekommen sie mehr Pizza für ihr Geld?

Lösungen

Radius 10 cm: 314,16 cm² Pizza
Radius 15 cm: 706,86 cm² Pizza
Sie sollten sich eine große Teilen, weil sie insgesamt größer ist als zwei kleine und dabei genauso viel kostet.

Weitere Berechnungen

Prüft euch gegenseitig mit dem folgenden GeoGebra-Link. Verstellt dabei die Werte an den größeren Punkten und fragt einen der Werte ab. Jemand anderes soll diesen berechnen, indem ihr die anderen Werte angebt. Wechselt euch dabei ab und fragt auch unterschiedliche Kreisgrößen (Radius, Durchmesser, ...) ab. (Falls du alleine arbeitest, kannst du durch Berechnungen jeweils einen der Werte bestätigen.)

GeoGebra-Link: GeoGebra: Flächeninhalt

Gold

Zum Meistern! Die Aufgaben sind freiwillig. Damit sollen das Thema und die Berechnungen vertieft und ergänzt werden.

Aufgabe 1

Ein Gärtner legt ein halbkreisförmiges Beet an, das einen Durchmesser von 2,50 m hat. Wie viele Blumen kann er ungefähr setzen, wenn der Platzbedarf 2 dm² pro Blume beträgt?

Aufgabe 2

Recherchiere nach der Monte-Carlo-Methode zur Bestimmung von π. Du sollst sie so weit verstanden haben, dass du sie jemand anderem mithilfe einer Skizze erklären kannst. (Es gibt auch GeoGebra-Anwendungen zur Veranschaulichung. Suche nach „geogebra monte carlo“.)

Aufgabe 3

Begründe, wie sich der Flächeninhalt eines Kreises verändert, wenn sich sein Radius verdoppelt (verdreifacht, halbiert).