Einstiegsaufgabe

Geld fürs Lernen

Deine Tante gewinnt im Lotto und möchte dich zum Lernen für Mathe motivieren. Wenn du drei Wochen jeden Tag lernst, bekommst du jeden Tag entweder…

(1) 50 Euro.
(2) 1 Cent am ersten Tag, 2 Cent am zweiten, 4 Cent am dritten, 8 Cent …

Für was solltest du dich entscheiden? Besprecht euch in Gruppen, rechnet, probiert, notiert, präsentiert.

Tabellen

Wachstum kann man unter Anderem in Tabellen darstellen. Dort kann man auch gut erkennen, um welche Art von Wachstum (linear oder exponentiell) es sich handelt.

Lineares Wachstum

Tag	1	2	3	4	5
Euro	50	100	150	200	250

Exponentielles Wachstum

Tag	1	2	3	4	5
Euro	0,01	0,02	0,04	0,08	0,16

Wachstum erkennen

Frage: Woran erkennt man die Wachstumsart jeweils in den Tabellen?

Antowrt: Man betrachtet, wie sich die Werte in der zweiten Reihe verändern. Ändern sie sich immer um den gleichen Wert, so ist es linear (plus ein konstantes c). Wird immer mit der gleichen Zahl multipliziert (mal ein festes b, dem Wachstumsfaktor), so ist es Exponentiell.

Wachstum erkennen

Linear oder exponentiell?

Tag	1	2	3	4	5
Meter	60	120	180	240	300

-> linear, weil immer +60.

Linear oder exponentiell?

Tag	1	2	3	4	5
mm	20	100	500	2500	12500

-> exponentiell, weil immer ∙5.

Linear oder exponentiell?

Tag	1	2	3	4	5
Anzahl	600	900	1200	1500	1800

-> linear, weil immer +300.

Linear oder exponentiell?

Tag	1	2	3	4	5
Anzahl	20	30	45	67,5	101,25

-> exponentiell, weil immer ∙1,5.

Linear oder exponentiell?

Tag	1	2	3	4	5
Anzahl	100	50	25	12,5	6,25

-> exponentiell, weil immer ∙0,5. Bei Wachstum können die Werte auch immer weniger werden, wenn der Wachstumsfaktor kleiner als 1 ist.

Aufgabe 1

Entscheide jeweils, ob es sich um lineares oder exponentielles Wachstum handelt. Begründe deine Entscheidungen kurz und gib an, um wie viel bzw. das wie viel fache es wächst.

a)

Tag	1	2	3	4	5
Anzahl	20	200	2000	20000	200000

b)

Tag	1	2	3	4	5
Anzahl	400	500	600	700	800

c)

Tag	1	2	3	4	5
Anzahl	50	70	90	150	180

Aufgabe 2

In der Tabelle ist ein exponentielles Wachstum notiert. Finde heraus, um das wie viel fache es jeweils wächst und berechne damit den Wert an Tag 6.

Tag	1	2	3	4	5
Anzahl	32	56	98	171,5	300,125

Wachstum

Bei exponentiellem Wachstum nimmt ein Bestand B(n) von einem Anfangsbestand B(0) ausgehend mit jedem Schritt n um einen festen Wachstumsfaktor b (Multiplikation) zu. Die Schritte beginnen im Allgemeinen bei 0 (auf der y-Achse).

Bei linearem Wachstum steigt es hingegen um einen festen Wert c (Addition).

Textaufgabe

Seerosen verdoppeln alle 3 Tage die Fläche, die sie auf einem See bedecken. Zu Beginn sind 4 m² bedeckt. Der See ist 512 m² groß.

a) Erstelle eine Tabelle der bedeckten Fläche für die Tage 0 bis 12 in 3er-Schritten.

b) An Tag 21 ist der See vollständig mit Seerosen bedeckt. Gib an, wann der See zur Hälfte bedeckt ist.

Wachstum erkennen

Welche Situation entspricht einem exponentiellen und welche einem linearen Wachstum?

a) Ein Social-Media-Post wird am ersten Tag 100 mal geteilt. Die Tage darauf wird er täglich 1,5-mal so oft geteilt wie am Vortag.

b) Susi bekommt ein Sparschein mit 20 € als Startkapital. Jede Woche erhält sie zusätzlich 5 € ins Sparschwein.

Graphen

Einstieg: Hasenpopulation

Eine Hasenpopulation wächst exponentiell. Zu Beginn gibt es 35 Hasen. Ihre Anzahl verdoppelt sich alle 6 Monate.

a) Ermittle die Anzahl der Hasen nach einem Jahr.

b) Erstelle eine Tabelle für den Verlauf der Hasenpopulation in den ersten 3 Jahren.

c) Bestimme den jährlichen Wachstumsfaktor (anstatt pro 6 Monate).

d) Stelle den Verlauf der Hasenpopulation mit GeoGebra grafisch dar.

Graphen zeichnen

Stelle die beiden Zusammenhänge für n von 0 bis 10 grafisch dar:

Anfangsbestand B(0) = 20. Wachstumsfaktor b = 1,25.
Anfangsbestand B(0) = 80. Wachstumskonstante c = 5.

Im GeoGebra Grafikrechner:
- Auf Tabellenkalkulation gehen.
- Startwerte für n und B(n) in A1 und B1 eingeben.
- n-Werte: In A2 „=A1+5“ und dann am Kästchen ziehen.
- B(n)-Werte: In B2 „=B1∙1,25“ und dann am Kästchen ziehen.
- Diagramm-Symbol → Liniendiagramm
- Achsen anpassen, damit es gut sichtbar ist.
- (Es können in C, D, … weiteren Graphen gezeichnet werden.)

Schrittweise Funktion

Mit welcher Funktion kann der Bestand zu einem Zeitpunkt berechnet werden?

n	0	1	2	3	4
B(n)	500	600	720	864	1036,8

B(n) = B(n+1)∙B(n-1)
B(n-1) = B(n)
B(n+1) = B(n-1)∙b
B(n) = B(n-1)∙b
B(n-1) = B(n)∙b
B(n+1) = B(n-1)

Antwort

B(n) = B(n-1)∙b ist richtig, weil immer der vorherige Wert B(n-1) mit dem Wachstumsfaktor b multipliziert wird.

Wie lautet die Funktion für lineares Wachstum?

n	0	1	2	3	4
B(n)	2,7	3,0	3,3	3,6	3,9

Antwort

B(n) = B(n-1) + c, weil immer zum vorherigen Wert B(n-1) die Konstante c addiert wird.

Aufgabe: Formeln finden

Gib jeweils die Formel der schrittweisen Funktion an.

a)

n	0	1	2	3
B(n)	5	20	80	320

B(n) = ...

a)

n	0	1	2	3
B(n)	35	46	57	68

B(n) = ...

Aufgabe: Wertetabellen

Gegeben sind ...

a) B(0) = 1, B(n) = B(n+1)·2
b) B(0) = 20, B(n) = B(n+1) + 2
c) B(0) = 2000, B(n) = B(n+1)·0,1

Erstelle jeweils eine Wertetabelle für x von 0 bis 3.

Schrittweise Funktionen

Die Bestände von exp. und lin. Wachstum können schrittweise mit folgenden Funktionen berechnet werden:

lin: B(n) = B(n-1) + c

exp.: B(n) = B(n-1)∙b

Link: Zuordnungen finden